Dwarf Standing on the Shoulders of Giants

If I have seen further it is only by standing on the shoulders of giants. by Issac Newton

2009年12月16日

Gauss 積分

多次元 Gauss 積分
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I=\int_{-\ift}^\ift dx_1\, \dotsi \int_{-\ift}^\ift dx_N\, \exp( -\tp\bm{x}A\bm{x} + 2\tp\bm{c}\bm{x} )を考えてみる。ここで A は対称正定値。

一次元なら簡単にできるから、積分変数の分離を試みる。
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A=\tp ODOとおく。ここで O は直交、 D は対角行列。
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\bm{y}=O\bm{x},\ \bm{d}=O\bm{c}と基底を変換すると、
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I&= \int_{-\ift}^\ift dy_1\, \dotsi \int_{-\ift}^\ift dy_N\, \exp( -\tp\bm{y}D\bm{y} + 2\tp\bm{d}\bm{y} ) \\  &= \prod_{i=1}^N \left[\int_{-\ift}^\ift dy_i \exp(-D_{ii}{y_i}^2+2d_iy_i)\right]と積分変数が分離できた。

一変数に帰着できたので、
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\int_{-\ift}^\ift dx\,\exp(-ax^2+2bx)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\frac{b^2}{a}を用いれば、
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I&= \prod_{i=1}^N \sqrt{\frac{\pi}{D_{ii}}}\exp\frac{{d_i}^2}{D_{ii}} \\  &= \sqrt{\frac{\pi^N}{\det A}}\exp\tp\bm{c}A^{-1}\bm{c}となる。

うーん、ということは経路積分
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\int\mathcal{D}x\,\exp\left\{-\int_0^\tau dt\,[-x(t)Ax(t)+2c(t)x(t)]\right\}( A は微分演算子)にも内積の項が指数の肩に乗った因子がつくのか……。しかも A の逆演算子とか、計算できるわけがなさそう。自分の都合の悪い因子は無意識のうちに抹消してしまう癖があって、この因子も「どうせ指数の中身が一次の部分は効かないだろう」とか何の根拠もなく思い込んで抜かしていた。面倒なことになったなあ。

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