Dwarf Standing on the Shoulders of Giants

If I have seen further it is only by standing on the shoulders of giants. by Issac Newton

2009年12月15日

二階非線型常微分方程式

常微分方程式は、線型なら微分作用素の「因数分解」で一発で解けるのだが、非線型になると途端に難しくなる(まあそれは、何も微分方程式に限った話では当然ないけど)。それでも一階なら、変数分離法だの定数変化法だの、変わったやつで言えば Bernoulli 型とか Riccati 型とか(まあ実際に研究でこんなのにお目にかかるのは、ほとんどがこんなのが出てくるようにわざわざポテンシャルの形を定めたとか、そんなところだろうけど)、まあ色々解き方はある。

ところが、物理では二階のものも結構あるわけで(三階以上は滅多にお目にかからない……偏微分方程式でもよければ、弾性理論で重調和方程式なんて出てきたけど)、こっちはそういう一般的な手法が通用するタイプがほとんどない。あれば、 Hermite 多項式だの Laguerre 陪多項式だの Bessel 関数だの、「ああ、この固有値問題の特殊関数って何だったっけ?」とか悩む必要なんてない。

しかし、一応一階常微分方程式に帰着できるものはあることはある。
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\ddot{x}=f(\dot{x},t)なんて自明な例は置いておいて、そこそこ実用的なのが
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\ddot{x}=f(x,\dot{x})。これは
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v:=\dot{x},\ddot{x}=\dot{v}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v'vとでも置換すれば、
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\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(v^2)=f(x,v)となる。

多分、中でも特に有用なのは
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\ddot{x}=f(x)で、これはそのまま積分して
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v=\sqrt{\int dx\,f(x)}となり、これはそのまま変数分離形だから、
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\int dx\left[\int dx\,f(x)\right]^{-\frac{1}{2}}=tとなって、運動方程式が完璧に解ける。

とかいう事実を思い出して、
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\ddot{x}=f(x)の形の微分方程式をホワイトボードの前で計算してると師匠に「エネルギーでしょ」とか突っ込まれる。そりゃそうだ、力が位置にしか依存しないのだから。突っ込まれるまで気づかなかった自分がアホ過ぎる。笑い話で済ませずに本気で古典力学復習した方がいいかなあ。

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