Dwarf Standing on the Shoulders of Giants

If I have seen further it is only by standing on the shoulders of giants. by Issac Newton

2009年11月16日

Stratonovich Rule

未だに Langevin 方程式
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F:=\ddot{x}&=-V'(x)-\gm\dot{x}+\xi(t)\\  \lag\xi(t)\rag&=0\\  \lag\xi(t)\xi(t')\rag&=2\gm T\dl(t-t')を考えている。質量は1で、ポテンシャルは簡単のため調和型。

これについて、運動エネルギー
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E:=\frac{1}{2}\dot{x}^2の変化の平均を考えると、
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\left\lag\frac{dE}{dt}\right\rag = \lag F\dot{x}\rag = -\lag V'(x)\dot{x}\rag -\gm\lag\dot{x}^2\rag + \lag\xi(t)\dot{x}\ragとなる。ここで、因果律より
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\dot{x}(t_0)は t<t0 の物理量にしか依存しないはずだから ξ とは独立であり、第三項は0である。従って、 γ→0 (γT=const) なら平均的にエネルギーは保存するはず。

と、師匠と面会の時に言ったら笑われる。まあ、少し考えればその通りで、質量0の極限だと速度が「 Brown 運動」するはずだから、どんどん速度の二乗平均は増加していくはずだ。しかし、先の議論が間違っているようにも思えない。

試しに先の極限の差分化
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v_{i+1}-v_i&=V'(x_i)\Dl t + B_{\Dl t}=:F_{i\to i+1}\\  x_{i+1}-x_i&=v_{i+1}\Dl t\\  \lag B_{\Dl t}\rag&=0\\  \lag{B_{\Dl t}}^2\rag&=2B\Dl tを行って、先の極限で運動エネルギー
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E_i=\frac{1}{2}{v_i}^2を見てみると、やっぱり増えているが、
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\lag B_{\Dl t}v\ragは誤差の範囲で0だ。

お手上げ状態で師匠と面会して、「差分化した E の増分を真面目に計算しろ、まずはポテンシャル0の場合。」と言われてすぐに気づく。ランダム力の2乗の項が E の増分に入っている。ポテンシャルがある場合には、
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E_{i+1}-E_i&=\frac{{v_{i+1}}^2-{v_i}^2}{2}\\  &=F_{i\to i+1}\frac{v_{i+1}+v_i}{2}となる。そうか、これが Stratonovich Rule ってやつか!

最初の議論では軽々しく
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\xi(t)\dot{x}なんて書いたが、そもそもこれは揺らぐ量同士の積だから定義されていない。こういう積を議論したい時は適切な定義を選ばなければいけないが、 Itō Rule を定義として用いても物理的描像とは合致せず、物理的に意味のある結果を出したければ Stratonovich Rule を採用しなければならない。 vi+1 は当然 ξ と相関がある。しかもランダム力の平方の項が出るから常に正の相関だ。こうやって考えればエネルギーが増えるのも自然だ。

こういう罠に引っかかって、改めて確率微分方程式は怖いなあと思う。まあ、こうやって自分で色々失敗して身につけた知識こそが身になるものなのだろう。

本題とは関係ないが、 xmodmap でデッドキーの設定はどうやるのかなあ。 Itō の “ō” の入力が面倒くさい。 フランス語・ドイツ語に登場する文字は AltGr + アルファベットで出るようにしてるんだけど(だから Poincaré とか Schrödinger はすぐに入力できる)、 ō なんて滅多に入力する機会ないしなあ。

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