Dwarf Standing on the Shoulders of Giants

If I have seen further it is only by standing on the shoulders of giants. by Issac Newton

2009年11月16日

加重線型最小二乗法

誤差付き観測データ
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\{(x_i,y_i\pm s_i)\}_{i=1,\dotsc,n}に直線
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y=ax+bを当てはめる場合を考える。ここで、 x についての誤差は考えない(自分が扱っているのが数値実験だから、基本的に x はパラメタであり誤差はないので)。また、直線以外の当てはめは基本的に精度が悪くなるので、適当な変形で直線に直すことをまず考える。

ここで a, b は残差の平方和 e2
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e^2&:=\sum_{i=1}^n{e_i}^2\\  e_i&:=\frac{ax_i+b-y_i}{s_i}を最小にするように定めればよい。これは a, b についての連立一次方程式
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\frac{\pd}{\pd a}e^2&=0\\  \frac{\pd}{\pd b}e^2&=0を解けばよいだけで、簡単のため
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[z]:=\sum_{i=1}^n\frac{z_i}{{s_i}^2}の略記を用いれば
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a&=\frac{[xy][1]-[x][y]}{[x^2][1]-[x]^2}\\  b&=\frac{[x^2][y]-[xy][x]}{[x^2][1]-[x]^2}となる。

さらに、
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y_i\sim N(ax_i+b,{s_i}^2)と仮定すると( N は正規分布、二つの引数は平均と分散)
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e^2\sim \chi^2(n-2)であることがいえるので、これを用いてフィッティングの信頼性を判定できる(が、そもそも誤差の分布が Cauchy 分布に従うとかいうとんでもない状況であればこんなことにはならない)。

これに加えて、各測定の誤差を独立でかつ相対誤差は十分小さいと仮定すると、誤差の伝播則
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\dl f(x_1,\dotsc,x_n)^2=\sum_{i=1}^n {\dl x_i}^2\left(\frac{\pd f}{\pd x_i}\right)^2を用いることができ、真面目に計算すると
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\dl a^2&=\frac{[1]}{[x^2][1]-[x^2]}\\  \dl b^2&=\frac{[x^2]}{[x^2][1]-[x^2]}が得られる。

加重最小二乗法についてあまり触れているサイトもないし、自分の計算結果をメモ代わりに。

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